Felinometria
eli empiiris-teoreettinen kissamäärän vaikutusten tutkiminen

Useimmissa tuntemissani kissataloudessa vallitsee samankaltainen tasapaino: nainen kantaisi kotiin lisää kissoja ilman mitään rajaa, mutta kissamäärä on asettunut suhteellisen vakioksi miehen ilmoitettua jossain vaiheessa että ei enää. Tarkastelen tässä kissan viiksien osassa erilaisia kissamäärästä riippuvia suureita kissamäärän funktiona (s.o. miten ne riippuvat kissojen määrästä) sekä esitän tämän pohjalta selityksen sukupuolten käytöserolle tässä asiassa.

Sitä, miksi perheen naisväki haluaa aina vain enemmän kissoja, on varmasti mahdoton täysin selittää. Olettakaamme kuitenkin, että syyt liittyvät seuraaviin seikkoihin: hoivavietti (”Voi mamin mussukkako taas tiputti kukkaruukun isin minidisc-soittimelle! Et kai loukannut itseäsi?”), näyttelymenestyksen tuoma prestiisi (”Midän kissa oli taas niin paljon kauniimpi ja parempi kuin ne Möttösen kirppusäkit”) tai yksinkertaisesti se että pienet karvaiset kaverit ovat jollain tavalla miellyttävää seuraa. Syyt siihen miksi miehet eivät enää tietyn rajan jälkeen halua kasvattaa kodin eläinkantaa selviävät kyllä tämän artikkelin myötä.

Tarkasteluissa tehdyt oletukset ja tulosten pätemisalue

Saadut tulokset pätevät tietysti vain tietyillä oletuksilla. Mitä kauemmas näistä oletuksista mennään, sitä huonommin nämä tulokset pätevät. Jos esimerkiksi asunto on kokonaan sisältäpäin päällystetty 3mm teräslevyllä, kissojen aiheuttamat tuhot pysyvät nollassa riippumatta kissojen määrästä.
Oletamme siis ympäristöksi työssäkäyvän pariskunnan, jolla on normaaleja huonekaluja ja kodinelektorniikkaa, kuten stereot, televisio jne.
Lukijan täytyy myös huomioida, että suurelta osin käytämme jatkuvia funktioita diskreetin järjestelmän mallinnuksessa. Tällä ei ole muuta merkitystä kuin että väliarvot, kuten esim. 2.5 kissan omistaminen, pitää jättää huomiotta. Tietysti voidaan argumentoida että sopivilla mutaatioilla, joita nykyinen jalostuskäytäntö tuottaa, voidaan saada aikaan kissoja jotka ovat tietyssä mielessä enemmän kuin yksi – esimerkiksi viisijalkainen kissa on tietyssä mielessä 1.25 kissaa. Koska tällaiset yksilöt eivät kuitenkaan ainakaan vielä ole minkään rodun rotumääritelmässä, niiden syntyminen ahkeran sisäsiittoisen jalostuksen sivutuotteena pyritään suurelta osin pitämään kissalan liikesalaisuutena.

Yleistä tarkastelluista funktioista

Koska tarkastelemme kissamäärän funktioina suureita joille ei välttämättä ole olemassa mitta-asteikkoa, kaikki funktiot on, ellei toisin ole mainittu, skaalattu siten että yhden kissan tuottama arvo on 1.0. Esimkerkiksi siis ensimmäinen kissa tuottaa iloa 1.0 yksikköä. Tästä seuraa myös se, että muutokset on helppo hahmottaa ja suhteuttaa.

Lukijan tulee myös huomata että monet tarkastelut perustuvat todennäköisyyksiin, odotusarvoihin ja keskiarvoihin. Esimerkiksi erityisen kallis eläinlääkärikäynti voi aiheuttaa yhtenä vuonna ison piikin eläinlääkärikuluihin. Laskuissa käytetään odotusarvoja. Jos esim. on 1/10 todennäköisyys vuodessa että kissa sairastuu 200e kulut aiheuttavaan roiskuripuliin, tämän odotusarvoinen kustannus on 20e (=200e * ).

Ensimmäinen faktori: Ilo

Lähtekäämme liikkeelle kissojen tuomasta ilosta. Tämä ilohan syntyy, kuten edellä todettiin, hoivavietin toteuttamisesta sekä mukavasta seurasta. Empiirisiin havaintoihin perustuen huomaamme kuitenkin että mitä enemmän kissoja on, sitä vähemmän lisäkissa tuottaa iloa. Tämä johtunee ainakin seuraavista tekijöistä:

1. Uutuudenviehätys vähenee. Kissanomistamista on jo koettu.
2. Mitä enemmän kissoja on ennestään, sitä epätodennäköisempää on että uudessa kissassa on mitään oleellisesti erilaista kuin jo olemassa olevissa.

Käyttämällä hyväksi näitä faktoja, empiirisiä havaintoja sekä ns. Stetson-Harrison menetelmää, voimme muodostaa yhtälön
Missä
I: tuotettu ilo
k: kissojen määrä

Näemme helposti että alkuvaiheessa funktion derivaatan arvo on suuri, mutta pienenee nopeasti. Tämähän tarkoittaa sitä että ensimmäiset kissat tuottavat suhteessa melko paljon iloa, mutta tuotettu ilo per kissa vähenee voimakkaasti kissamäärän lisääntyessä. Erityisen huomionarvoista on että kun yksi kissa tuottaa iloa 1.0 yksikköä, on tämän ilon kaksinkertaistamiseksi omistettava 10 kissaa! Nelinkertaisen ilon tuottamiseksi tarvitaankin jo 1000 kissaa. 

Tämän nähdessään meidänkin taloutemme naisosapuoli totesi heti että kissoja pitää sitten ottaa tosi paljon! Kehoittaisin lukijaa kuitenkin jatkaamaan eteenpäin ennen hätäisten johtopäätösten tekemistä, sillä tässä vaiheessa ne perustuisivat vajaaseen tietoon. Lukija voi tietysti argumentoida että tämä pätee suurimpaan osaan todellisessa elämässä tehtävistä päätöksistä. Nyt kuitenkin lisätietoa on helposti saatavilla, joten se on syytä ottaa huomioon.

Seuraava kaavio havainnollistaa kissamäärän kasvaessa uuden kissan tuottaman suhteellisen ilon lisäyksen pienenevän hyvin nopeasti lähes olemattomaksi:

Rajattomasta kasvusta

Tarkkaavainen lukija huomannee, että mallimme sallii rajattoman, joskin hitaan kasvun. Mallin mukaan siis 1000000 (miljoona) kissaa omistavan henkilön ilo kasvaa (vaikkakin mitättömän vähän) kun hän hankkii vielä yhden kissan, vaikka todellisuudessa (jos noin monen kissan omistaminen olisi edes mahdollista) eroa tuskin huomaisi mitenkään.
Tämä ajatusvirhe on tyypillinen matemaattista mallinnusta tuntemattomalle henkilölle. Mallimme pätevyysalue ei nimittäin ulotu kuin noin 20 kissaan. Mallia ei katsottu tarpeelliseksi jalostaa toimimaan suuremmilla kissamäärillä koska oletamme että kukaan täysijärkinen ei hanki lähellekään noin paljoa kissoja, ja täyttä ymmärrystä vailla olevat henkilöt, vaikkakin yleisiä kissaharrastuspiireissä, eivät kuulu tutkimuksemme kohdeyleisöön.
Mallin tilanne on siis sama kuin Newtonin dynamiikan: se ei päde suurilla nopeuksilla (jolloin pitää ottaa käyttöön Einsteinin suhteellisuusteoria), mutta toimii erittäin hyvin arkipäiväisillä nopeuksilla (jotka ovat pieniä valon nopeuteen nähden).
Huomautettakoon kuitenkin että monissa tarkastelluissa suureissa pätevyysalue ei ole näin rajattu. Esimerkiksi seuraavaksi käsiteltävä paskan määrä kyllä kasvaa kissamäärän mukana riippumatta siitä kuinka paljon kissoja on ennestään.

Toinen faktori: paska

Lisääntynyt kissamäärä tarkoittaa tietysti myös lisääntynyttä ruuankulutusta. Tämä vaikuttaa rahallisiin kustannuksiin joihin palaamme hieman myöhemmin. Kulutetun ruuan määrä on kuitenkin suoraan verrannollinen erääseen, varsinkin miesten hyvin epämiellyttävänä pitämään, kissojen tuotokseen, nimittäin paskaan. Mitä enemmän ruokaa kuluu, sitä enemmän paskaa.
Empiirisesti on havaittu että kaksi kissaa tuottaa noin 2.3 kertaa enemmän paskaa kuin yksi. Tämä tuntuu aluksi selittämättömältä, mutta selittyy loppujen lopuksi helposti sillä että kissojen ruokahalu paranee porukassa. Koirilla sama ilmiö on vielä selkeämpi – sapuska joka ei tunnu uppoavan niin millään meneekin äkkiä kaupaksi jos on vaarana että toinen koira saattaisi syödä sen.

Ns. paskantuotantofunktio on siis
p(k) = k,  k ≤ 1
p(k) = sk, k > 1

missä
p: tuotetun paskan määrä
k: kissojen määrä
s: ns. paskakerroin (shit factor) joka kuvaa kuinka paljon enemmän kissat kuluttavat ruokaa yhteisössä.

Stetson-Harrison menetelmään perustuvan teoreettisen tarkastelun, jonka ohitamme tässä tilanpuutteen vuoksi, saamme paskakertoimen arvoksi s = ≈ π 1.15

Täten voidaan todeta että kymmenen kissaa tuotta paskaa 11.50 edestä.

Kolmas faktori: kissojen keskinäiset konfliktit

On tunnettu tosiasia että kaikki kissat eivät kerta kaikkiaan tule keskenään toimeen. Kahdella kissalla on siis tietty todennäköisyys että konflikti syntyy. Skaalatkaamme tämä siten, että mitta-asteikollamme kaksi kissaa omistettaessa esiintyvät konfliktit saavat arvon 1.  Tämä ei siis tarkoita että konflikteja olisi 1 kappaletta, vaan toimii ainoastaan vertailuarvona verrattaessa sitä suuremman kissamäärän konflikteihin.
On hyvin helposti todettavissa että konfliktien määrä on verrannollinen kissajoukosta muodostettavien parien määrään. Kombinatoriikasta tiedämme että k:n yksilön (missä k > 1) kissajoukosta voidaan muodostaa pareja seuraavasti:

 

Missä
n: parien määrä
k: kissojen määrä

Koska skaalaamme tarkastelumme siten, että kahden kissan taloudessa esiintyvien konfliktien määrä on 1 yksikköä, on tämä myös käyttämällämme mitta-asteikolla konfliktien määrä.

 

Kissoihin liittyy myös luonnonvakio λ, joka kertoo todennäköisyyden jolla kaksi kissaa tulevat niin huonosti toimeen keskenään että kissoja ei voi pitää samassa kämpässä ilman että ne saavat n.s. paskahalvauksen ja repivät toisiltaan silmät päästä. Kissapopulaatiolla, joka koko on k kissaa, todennäköisyys sille että ongelmia ei ole, on

, k ≥ 2

Kääntäen voidaan siis sanoa, että pahan konfliktin todennäköisyys annetun kokoisella populaatiolla on

, k ≥ 2

Vakion λ tarkkaa arvoa ei vielä tunneta, mutta olettakaamme että jos meillä on yksi kissa, joka neljäs muu kissa on sellainen että syntyy em. paskahalvaus. Tällöin  λ ≈ 0.25 ja huomaamme että todennäköisyys sille että pahoja ongelmia esiintyy näyttää tältä: (perustuu havaintoihin, voi vaihdella rodun ja sterilisaatio/ei-steriloitu mukaan)

Neljäs faktori: kissojen aiheuttamat tuhot

Jokainen kissojen kanssa samassa taloudessa asunut tietää että kissat eivät ole vain söpöjä kodin kaunistuksia. Kaikki, mikä ei ole tehty vähintään 4mm paksusta teräksestä ja pultattu talon kiinteisiin rakenteisiin, voi potentiaalisesti tulla kissojen tuhoamaksi. Kissojen filosofinen opetus monelle onkin se, että mikään maallinen ei ole ikuista.
Laajaan empiiriseen aineestoon perustuen huomaamme helposti että kissojen aiheuttamat tuhot ovat verrannollisia kissamäärän kolmanteen potenssiin. Kutsukaamme tuhofunktiota nimellä t. Tuhofunktio on siis muotoa

 

Missä a, b, c ja d ovat vakioita. Näiden vakioiden arvot voidaan selvittää tunnettujen tosiasioiden pohjalta.

Tuhot yhdellä kissalla ovat 1 (skaalaus kuten edellisissä kohdissa). Tunnettu tosiasia on myös, että yksinäinen kissa tekee tuhoja koska sillä ei ole seuraa tahi tekemistä. Kahdella kissalla tuhojan määrä laskee hieman – tahallista seuran puutteesta johtuvaa tuhoamista ei enää esiinny, mutta yhteinen riehuminen ja riekkuminen lähes kompensoivat tämän. Kissamäärän kasvaessa yli kahden tuhojen määrä kääntyy taas voimakkaaseen kasvuun.

Tunnetaan siis seuraavat faktat:
t(1) = 1
t'(1) = 0
t'(2) = 0
Kaksi jälkimmäistä tulevat siis siitä että näillä kissaluvuilla tuhofunktion muutossuunta muuttuu, eli funktion derivaatan nollakohdat tunnetaan. Funktion derivaattahan on

 

Näistä saamme siis lineaarisen yhtälöryhmän

Huomaamme, että vapausasteita on yksi enemmän kuin yhtälöitä. Ratkaistessamme yhtälöt suhteessa a:han saamme
b = - 4.5a
c = 6a
d = 1 – 2.5a

Soveltamalla jälleen Stetson-Harrison menetelmää, saamme a:lle arvoksi , missä e on ns. Neperin luku.

 

Ei niinkään yllättävästi toteamme että 10 kissaa aiheuttaa noin 180 kertaa enemmän tuhoa kuin yksi kissa.

Viides faktori: rahan meno

Oletamme että kissan aiheuttamat kulut koostuvat seuraavista tekijöistä annetuin painotuksin:

tekijä	paino	symboli
ruoka	42%
hiekka	13%
eläinlääkäri	28%
tuhot	13%
lelut	4%

 Oletamme, että hiekan kulutus on suorassa suhteessa syödyn ruuan, ja siten tuotetun paskan, määrään. Lisäksi oletamme että lelujen määrä per kissa pysyy suunnilleen vakiona.

• Mallinnamme eläinlääkärikulut kissojen määrän funktiona käyttäen hyväksi seuraavia faktoja:
  Jokaisella kissalla on tietty vakio eläinlääkärikustannus per vuosi, kuten rokotukset jne.
• Todennököisyys, että kissojen välinen konflikti johtaa lääkärikäyntiin toiselle kissoista, on μ≈0.2, eli joka viides konflikti on tällainen.
• Mitä enemmän kissoja taloudessa on, sitä enemmän kissat stressaavat.

Stressisairastuvuus per kissa (suhteessa muiden kissojen määrään, eli (k-1):een):
r(k) = (k-1)ξ
missä
k: kissojen määrä
ξ: skitsokerroin, joka kuvaa sitä kuinka paljon kissa ottaa stressiä muista kissoista.

Otetaan todennäköisyys ∂ sille että stressi aiheuttaa lääkärikäynnin, niin saamme k kokoiselle populaatiolle kustannuksen

 

Skitsokerroin riippuu kissojen rodusta ja siitä ovatko ne leikattuja (kissapiireissä käytetty kiertoilmaus ilmaisemaan sitä onko kissan sukuelimet raa'asti mutiloitu), mutta keskimäärin sen arvo on 1. Kun käytämme δ:lle arvoa 0.1 eli lääkärikäyntiin johtavan stressin todennäköisyys on melko pieni, saamme

 

Eläinlääkärikulut kaikenkaikkiaan ovat siten

 

Kokonaiskulut ovat siten

=

 

 

Huomaamme että kulut kasvavat epälineaarisesti. Huomattavaa on, että kymmenellä kissalla kulut ovat noin 38 kertaiset yhteen kissaan verrattuna.

Kuudes faktori: näyttelymenestys

Oletetaan, että todennäköisyys sille että yksittäinen kissa voittaa BIS (Best in Show) tai BOX (Best of Opposite Sex) palkinnon on y=0.02. Tällöin k kissan populaatiossa todennäköisyys sille että ainakin joku voittaa jomman kumman em. palkinnoista on

Laskemalla todennäköisyydet voittoon huomaamme että ainakin kymmeneen kissaan asti näyttelymenestyksen todennäköisyys on suunnilleen suoraan verrannollinen kissojen määrään (kymmenellä kissalla 9.15 kertaa parempi kuin yhdellä kissalla).

Seitsemäs faktori: muijan kälätys

Lopullisena tavoitteenamme on muodostaa esitettyjen tekijöiden pohjalta ns. hyötyfunktiot, jotka kuvaavat sitä miten positiivisena asiana miehet ja naiset kokevat kotona asuvat kissat. Allekirjoittaneen on tässä vaiheessa myönnettävä, että yritin muodostaa nämä hyötyfunktiot aluksi suhteessa kuuteen edellä esitettyyn tekijään. Oli hieman hämmentävää todeta, että huolellisesta työstä huolimatta tulokset eivät vastanneet dataa. Pienen pohdinnan jälkeen huomasin kuitenkin, että syy oli yksinkertaisesti siinä, että olin unohtanut yhtälöistä pois yhden tärkeän tekijän: muijan kälätyksen.

Jotta voisimme paremmin ymmärtää miten muijan kälätys ja kissojen omistamisen positiiviseksi kokeminen liittyvät toisiinsa, meidän on lähdettävä perusasioista.

1. Naisilla on luonnostaan ns. kälätysvietti. Naisen täytyy päästä toteuttamaan tätä viettiään johonkin tai joihinkin lähiympäristössään. Kälätyksen määrä on suunnilleen vakio / nainen.

2. Naisen kälätysvietti laukeaa helpoiten kun naiselle annetaan tähän sopiva stimulus, jota naiset itse kutsuvat yleisesti termillä ”syy”. Tällainen voi olla esim. se kun mies jättää housunsa keskelle makkarin lattiaa: ”Etkö sä iso mies osaa korjata jälkiäsi? On se kumma kun tavarat jää just siihen mihin ne sattuu putoamaan”... jne. Jos nainen ei ole päässyt toteuttamaan kälätysviettiään tarpeeksi, voi vietti laueta satunnaisesti, kuten kaikki miehet hyvin tietävät. ”Syy” voi tällöin olla lähestulkoon mikä tahansa.

3. Nainen toteuttaa kälätysviettiään jokaiseen lähiympäristönsä yksilöön – kukaan ei jää ilman. Jakauma ei kuitenkaan ole välttämättä tasainen, vaan riippuu lähiympäristön yksilöiden kunkin antamasta ”syiden” määrästä.

4. Miehet kokevat kälätyksen epämiellyttäväksi ja haluavat välttää sitä. Kuitenkin ne miehen toimet, jotka stimuloivat naisen kälätysviettiä, ovat suurelta osin miehen vaistonvaraisia toimintoja joihin vaikuttaminen on erittäin hankalaa.

Jokainen kotieläimien kanssa samassa taloudessa elävä tietää, että eläimet tekevät usein asioita, jotka laukaisevat naisen kälätysvietin: ”Alas pöydältä!”, ”Älä mourua!” jne, jne. Hyvänä puolena mainittakoon vielä, että eläimet eivät tunnu ottavan opikseen kovin helposti, ja siten toistavat helposti lyhyenkin ajan kuluttua uudelleen naisen kälätysvietin laukeamiseen johtaneen toiminnon. Miksi tämä on hyvä asia? Kuten edellä mainittiin, kälätyksen määrä on suunnilleen vakio / nainen – mitä suuremman osuuden kälätyksestä kotieläimet vetävät puoleensa, sitä vähemmän miehen tarvitsee sietää sitä. Johtuen kuitenkin siitä, että nainen toteuttaa viettiään joka tapauksessa jokaiseen yksilöön lähiympäristössään, ei mies pääse kälätyksestä kokonaan.

Skaalatessamme jälleen s.e. naisen kälätyksen väheneminen yhdellä kissalla on 1, voimme johtaa kaavan

, k > 1

missä
K: mieheen kohdistuvan kälätyksen ja kitinän väheneminen

Hyötyfunktiot

Esitämme nyt, että se kuinka positiiviseksi henkilö kokee taloudessa olevat kissat, riippuu edellä mainituista seitsemästä tekijästä. On kuitenkin niin, että eri sukupuolet arvostavat (keskimäärin) eri asioita, ja siten asettavat esitetyille tekijöille erilaiset painoarvot. Alla on esitetty ns. Sleeve-Henderson menetelmällä tuotetut arvot näille painotuksille:

Tekijä	Naisen painotus	Miehen painotus
Ilo	0.41	0.37
Paska	0.02	0.06
Konfliktit	0.03	0.06
Tuhot	0.01	0.07
Rahanmeno	0	0.07
Näyttelymenestys	0.52	0
Mieheen kohdistuvan kälätyksen vähentyminen	0	0.37

Merkittävimpiä eroja linevät se, että miestä näyttelymenestys ei kiinnosta vähääkään ja että nainen taas ei välitä siitä kuinka paljon rahaa kissoihin menee. Nainen ei luonnollisestikaan välitä myöskään mieheen kohdistuvan kälätyksen vähentymisestä – hän toteuttaa viettinsä joka tapauksessa.

Laskien yhteen taulukoissa annetuilla painotuksilla johtamamme tekijät, saamme eri tavalla käyttäytyvät hyötyfunktiot naiselle ja miehelle.

Huomaamme, että miehen hyötyfunktion maksimi on kahdessa kissassa, kun taas naisen maksimi on kuuden kissan kohdalla. Huomattavaa on, että tässä vaiheessa miehen hyötyfunktio on jo voimakkaasti miinuksella.

Epilogi

Huomaamme, että tutkimuksemme on johtanut meidät tieteelliseltä pohjalta ymmärtämään miksi naiset haluavat talouteen enemmän kissoja kuin miehet.

Koska tutkimus sisältää joitain luonnonvakioita (kuten skitso-, paska- ja tuhokerroin) joiden täsmällinen arvo on tiedeyhteisössä jossain määrin kiistanalainen ja joidenkin vakioiden kohdalla myös esim. kissarodusta riippuva, kokeilevainen lukija voi halutessaan kokeilla miten näiden vakioiden variointi vaikuttaa käsiteltävien funktioiden käytökseen käyttäen oheista taulukkolaskentataulukkoa. Siihen on vihreällä merkitty kaikki varioitavissa olevat arvot – muu osa, eli laskentatulokset ja funktioiden kuvaajat, päivittyy näitä arvoja muutettaessa automaattisesti. Taulukko on Open Officen tallennusmuodossa (ladattavissa ilmaiseksi osoitteesta www.openoffice.org), ja se ei aukea eikä sitä ole saatavilla MS Excel formaatissa.

Kirjoittaja tarkastelee kissamaailmaa kynnensivaltaman päässä hiekkalaatikon reunoista